지하 수학

영화 굿 윌 헌팅은 MIT 청소부가 교수가 칠판에 수학 도전 문제를 풀어버려 주목을 받으며 시작된다. 이러한 스토리는 George Dantzig의 실화에서 영감을 얻었다고 한다. 1939년 버클리 대학교 대학원생이었던 그는 수업에 지각해 칠판에 적힌 두 문제를 보고 당연히 숙제라고 생각해 적어갔고, 며칠 뒤 숙제가 평소보다 조금 어렵다고 하며 제출했다. 사실 이 두 문제는 통계학에서 풀리지 않고 있었던 난제들이었고, Neyman의 도움 덕분에 Gantzig은 이를 논문으로 출판하여 박사 학위를 얻는다.이번 글에서는 이 중 첫 번째 난제를 살펴본다. 구체적으로, Dantzig가 발표한 다음 논문의 내용을 설명할 것이다.ON THE NON-EXISTENTCE OF TESTS OF "STUDENT'S" HYP..

해병대 상병 4호봉 친구의 휴가 때 함께 침대에 누워 '가끔씩 툭하고 러시아어로 부끄러워하는 옆자리의 아랴 양' 애니 1기를 정주행했다. 그 중 아랴가 쿠제와 함께 기말고사 공부를 하던 도중 아랴의 수학 필기가 잠시 보인다. 아랴는 무엇을 공부하고 있었을까? 오늘은 아랴가 공부하고 있던 수식들을 살펴본다. 첫 번째 페이지에 보이는 수식은 다음과 같다. $$\begin{align} -4x-4) & = 2(x^2-2\cdot 2x+2^2-2^2)-4 \\ & = 2\{\ (x-2)^2-4 \}\ -4 \\ & = 2(x-2)^2-8-4 \\ & = 2(x-2)^2 - 12 \end{align}$$ 이는 이차식을 완전제곱식과 상수의 합으로 정리하는 절차로, 두 번쩨 페이지의 내용은 다음과 같다.

최근 개봉한 영화 부고니아의 원작인 영화 지구를 지켜라! 를 감상해 보았다. 정말 자랑스러운 한국 영화였다!영화 속 이병구는 분명히 외계인이라고 믿는 유제화학의 사장 강만식을 납치해 왕자와 만나게 해줄 것을 요구한다. 강만식은 처음에는 자신이 외계인이라는 것을 부인하지만, 이병구에게 목숨의 위협을 강하게 느껴 결국은 자신이 외계인임을 인정하고, 외계인의 역사를 설명해준다. 이야기를 들은 이병구는 강만식 말에 의하면 외계인이 100만년을 넘게 사는 존재냐며 이를 믿지 않는다.그러나 강만식은 우리 행성의 지름은 지구의 120배이고 공전 속도는 450배가 넘는다며, 우주의 시간이 상대적인 것을 모르냐며 다그친다. 이러한 정보를 토대로 계산해보면 그 행성에서의 시간은 지구보다 약 100만배 빠르게 흐른다는 결론..

가우스의 천재성을 실감하게 되는 이야기에는 초등학교 3학년 때 1부터 100까지 자연수의 합을 암산한 사례와, 19살 때 정십칠각형이 작도 가능함을 보인 사례 등이 있다. 사실 가우스는 정십칠각형의 작도 가능성에서 더 나아가, 여러 홀수 소수 $n$ 에 대하여 방정식 $$x^n-1=0$$을 풀어 각 $2 k \pi / n = P k/ n$(이 글에서는 가우스가 사용한 $2\pi=P$ 표기를 따르겠다)의 삼각비 값을 구했다. $x^{17}-1=0$ 을 푸는 것이 왜 정십칠각형의 작도와 관련있을까? 이는 방정식의 해인 $r= \cos P/17+i \sin P/17$ 에서 정십칠각형의 한 외각의 cosine 값을 찾을 수 있기 때문이다. 이 값이 작도 가능함을 보이면 정십칠각형이 작도 가능함을 보인 것과 같..

자랑스럽고 유니크한 이광형 총장님은 2021년부터 현재(2025년)까지 사랑스러운 우리 대학교(KAIST)의 총장을 맡고 계신다. 이광형 총장님은 1978년 서울대학교에서 산업공학과 학사 학위를 취득하신 후, 1980년 카이스트에서 산업공학과 석사 학위를 취득하고, 이후 유학을 가 화려한 커리어를 시작하신 것으로 알려져 있다. 나는 윤석열이 실제로 응시했던 서울대학교 본고사를 풀어본 이후, 이광형 총장님이 응시하셨던 서울대학교 본고사도 살펴보고 싶어졌다.그러나 이광형 총장님의 서울대학교 입학 년도는 알려져 있지 않다. https://kaist.ac.kr/leaderkr/html/kaist/0101.html 에서 서울대학교 산업공학과 학사 학위 취득 년도는 알 수 있었지만, 몇 학번으로 졸업하셨는지는 어디..

바젤 문제(Basel Problem)는 1650년 이탈리아의 수학자 피에트로 멩골리(Pietro Mengoli)에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다: $$\sum \frac{1}{n^2}=\frac 1 {1^2}+ \frac 1 {2^2} + \frac 1 {3^2} \cdots$$ 이 문제는 제안된 이후 80여년 동안 많은 수학자들이 도전했지만 풀 수 없었던 난제였다. '바젤 문제'라는 이름은 이 문제를 수학계에 널리 알린 야코프 베르누이가 재직하던 스위스 바젤시의 바젤 대학에서 유래된 것이다.레온하르트 오일러는 1735년에 이 급수가 $\frac {\pi^2} 6 $ 로 수렴함을 증명하였다. 그러나 그의 초기 증명은 엄밀하지 못하였으며, 그는 1741년에 더욱 엄밀..

2007년부터 2019년까지, 무려 279부작이었던 시트콤 '빅뱅 이론'에는 여러 수학/과학 이야기들이 나온다. 이들 중 내 심기를 건든 수학 이야기를 가져와보았다(직접 아이폰으로 찍은 것이다).시트콤에서 MIT 학생인 하워드 왈로위츠(Howard Wolowitz)는 $x^2e^{-x}$ 의 적분을 파인만 트릭으로 할 수 있다고 말한다. 이 장면이 서울대학교 수학(교육)과를 합격한 나에게 참 불편한 이유는, 위의 적분을 파인만 트릭으로 적분해보겠다는 생각은 너무 멍청하다! 그냥 부분적분으로 $$\int x^2e^{-x} = \left (-x^2-2x-2\right) e^{-x} + \mathrm C$$이 정말 쉽게 얻어지기 때문이다. 그런데 MIT 학생이 그렇게 말을 했으므로, 이번 글에서는 굳이 굳이..

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고등학교 수학 교육과정에서 미분법을 공부하는 가장 큰 목적 가운데 하나는 도함수를 구함으로써 함수의 증가, 감소를 파악하고 그래프의 개형을 파악하는 것이다. 그러나 2007년 개정 고등학교 수학 교육과정에서는 이를 설명함에 있어 아주 큰 오류가 있었다. 이번 글에서는 그 당시 교과서의 오류와 빈약한 설명들을 찾아볼 것이다. 글의 대부분은 다음 논문을 따른다: https://scienceon.kisti.re.kr/srch/selectPORSrchArticle.do?cn=JAKO201029335102378당시 모든 교과서에서 함수 $f(x)$ 가 어떤 구간의 임의의 두 수 $x_1$, $x_2$ 에 대하여 $x_1정리 1: 함수 $f(x)$ 가 열린 구간에서 미분가능하고 $f'(x)>0$ 이면 그 구간에서 ..