시트콤 빅뱅 이론의 적분

2007년부터 2019년까지, 무려 279부작이었던 시트콤 '빅뱅 이론'에는 여러 수학/과학 이야기들이 나온다. 이들 중 내 심기를 건든 수학 이야기를 가져와보았다(직접 아이폰으로 찍은 것이다).

시트콤에서 MIT 학생인 하워드 왈로위츠(Howard Wolowitz)는 $x^2e^{-x}$ 의 적분을 파인만 트릭으로 할 수 있다고 말한다. 이 장면이 서울대학교 수학(교육)과를 합격한 나에게 참 불편한 이유는, 위의 적분을 파인만 트릭으로 적분해보겠다는 생각은 너무 멍청하다! 그냥 부분적분으로 $$\int x^2e^{-x} = \left (-x^2-2x-2\right) e^{-x}  + \mathrm C$$이 정말 쉽게 얻어지기 때문이다. 그런데 MIT 학생이 그렇게 말을 했으므로, 이번 글에서는 굳이 굳이 $\int x^2e^{-x} $ 을 파인만 트릭으로 계산해보자.

우리가 이용해야 하는 파인만 트릭이란, 라이프니츠 적분 정리를 이용하여 복잡한 적분을 간편하게 계산하는 것을 말한다.

라이프니츠 적분 정리 : 연속함수 $f(\alpha,t) : \left[ a,b \right] \times \left[ c,d \right] \rightarrow \mathbb{R}$ 의 편도함수 $$\frac{\partial f}{\partial \alpha}  : \left[ a,b \right] \times \left[ c,d \right] \rightarrow\mathbb{R}$$ 가 존재하고 연속이라 하자. 그러면 다음 등식이 성립한다. $$\frac{d}{d\alpha}\int_c^d f(\alpha,t) \, dt = \int_c^d\frac{\partial f}{\partial \alpha} (\alpha, t) \, dt$$

정리의 내용을 보면 알 수 있듯이, 본질적으로 파인만 트릭은 정적분에서 사용 가능하다. 따라서 부정적분에서 파인만 트릭을 사용하기 위해서는 정적분의 범위 자체를 $0$ 부터 $x$ 와 같이 잡아주어야 한다. 문제의 $x$ 를 임의의 실수로 고정하고, 다음과 같은 $\alpha$ 에 대한 함수를 정의하자: $$ I(\alpha)= \int_0^x e^{-\alpha t} dt$$ 파인만 트릭에 의하면 $$\frac{d^2}{d\alpha^2}I(\alpha) = \int_0^x \frac{\partial^2 e^{-\alpha t}}{\partial\alpha^2} dt = \int _0^x t^2e^{-\alpha t} dt$$ 이므로, 시트콤의 적분은 $I''(1)$ 와 같게 된다. 따라서 우리는 $I''(\alpha)$ 을 계산하고 $\alpha=1$ 을 대입하면 된다.

$I(\alpha)$ 을 직접 계산해보면 $\frac {1-e^{-\alpha x}}{\alpha}$ 임을 쉽게 알 수 있다.  $I(\alpha)$ 을 두 번 미분하면 $$\begin{align} I'(\alpha) = & \frac{\alpha x e^{-\alpha x}+e^{-\alpha x}-1}{\alpha^2} \\ I''(\alpha) = &  \frac{-\alpha^3 x^2 e^{-\alpha x} -2\alpha^2 x e^{-\alpha x}-2\alpha e^{-\alpha x} + 2\alpha} {\alpha^4} \end{align}$$ 이므로, $ I''(1) = \left( -x^2-2x-2 \right) e^{-x} + 2 $ 이다. 따라서, $$\int x^2e^{-x} = I''(1)+\mathrm C = \left(-x^2-2x-2 \right) e^{-x} + \mathrm C$$ 이 얻어진다.