카이스트 이광형 총장님의 서울대학교 입시

자랑스럽고 유니크한 이광형 총장님은 2021년부터 현재(2025년)까지 사랑스러운 우리 대학교(KAIST)의 총장을 맡고 계신다. 이광형 총장님은 1978년 서울대학교에서 산업공학과 학사 학위를 취득하신 후, 1980년 카이스트에서 산업공학과 석사 학위를 취득하고, 이후 유학을 가 화려한 커리어를 시작하신 것으로 알려져 있다. 나는 윤석열이 실제로 응시했던 서울대학교 본고사를 풀어본 이후, 이광형 총장님이 응시하셨던 서울대학교 본고사도 살펴보고 싶어졌다.

그러나 이광형 총장님의 서울대학교 입학 년도는 알려져 있지 않다. https://kaist.ac.kr/leaderkr/html/kaist/0101.html 에서 서울대학교 산업공학과 학사 학위 취득 년도는 알 수 있었지만, 몇 학번으로 졸업하셨는지는 어디에도 알려져 있지 않다... 그러나 총장님께서 1954년 11월에 태어나셨고, 수능을 망쳐 재수를 하셨다는 사실을 종합해보면,

1954년 출생 + 19년 초중고 생활 + 1년 재수 생활 + 4년 대학교 생활 = 1978년 졸업

이라는 어마어마하게 잘 들어맞는 가설이 나온다. 즉, 이광형 총장님께서는 높은 확률로 서울대학교 산업공학과 74학번이시다. (군대는 언제 다녀오셨을까...?) 이 가설을 믿어보아 이번 글에서는 1974학년도 서울대학교 대학별고사 수학 II(이광형 총장님께서 응시하셨을 서울대학교 이과 수학 본고사)의 문제를 한 번 살펴보는 시간을 가져보자. 

'74학년도 수학II (100점 / 70분)

1. 함수 $f(x)$ 가 $0\le x<a$, $a\le x \le \frac 4 k$ 에서 각각 아래와 같이 정의되어 있다. $$ f(x) = \begin{cases} 3-2x. & 0\le x<a \\ x(4-kx). & a \le x \le \frac 4 k \end{cases}$$ 여기서 $a$ 는 직선 $y=3-2x$ 와 포물선 $y=x(4-kx)$ 의 접점의 $x$ 좌표이고, $k$ 는 상수이다. (10점)
(1) $a$ 와 $k$ 의 값을 구하라.
(2) (1) 에서 구한 값에 대하여 $\int_0^\frac 4 k f(x)dx$ 의 값을 구하라.

2. 오른편 표는 $M$ 을 첫째 항으로 하고, 항의 수가 $N$, 공차가 $2$ 인 등차수열의 합 $S$ 를 나타낸 것이다. (15점)

$M$	$N$	$S$
$1$ $3$ $7$ $13$ $21$ $\vdots$	$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $\vdots$	$1$ $8$ $27$ $64$ $125$ $\vdots$

(1) $M$ 과 $S$ 를 $N$ 으로 나타내어라.
(2) $\sum_{k=0}^{N-1}(M+2k)=S$ 을 증명하라.

3. 두 대변이 서로 수직이고 그 길이가 같은 $a$ 인 사면체가 있다. 이 두 대변의 중점을 이은 선분의 길이가 $b$ 이고, 이 선분은 그 두 대변에 수직이다. 이 사면체의 부피를 $a$, $b$ 로 나타내어라. (10점)

4. 크기 $N$ 인 모집단에서, 뽑힌 것을 되돌리지 않고, 하나씩 임의로 원소를 추출한다. 그리고 매 회의 추출에서 각 원소는 같은 기회를 갖는다. (15점)
(1) 이 모집단의 어떤 원소 $A$ 가 $J$ 번째에 추출될 확률을 구하라.
(2) 변수 $X$ 에 관한 이 $N$ 개의 원소의 각각의 값이 $X_1$, $X_2$, $\cdots$, $X_N$ 일 때, $J$ 번째에 뽑힌 원소의 값 $X^{(J)}$ 의 기대값 $ E\left[X^{(J)}\right]$ 를 구하라.

5. 집합 $X$, $A$, $B$ 가 있어 $X$ 에는 원소 $5$ 개가 있고, $A\subset X$, $B\subset X$ 이다. (15점)
(1) 부분집합 $A$ 와 $B$ 를 동시에 만들 수 있는 가지수는?
(2) $A$ 의 모든 원소가 $B$ 에 속하도록 $A$ 와 $B$ 를 만들 수 있는 가지수는?
(3) $A$ 에 속하나 $B$ 에는 속하지 않는 원소가 있도록 $A$ 와 $B$ 를 만들 수 있는 가지수는?

6. $f(x) = \dfrac {\log_e x}x$, $x>0$ 일 때 $f(x) = f(x+1)$ 을 만족하는 $x$ 는 꼭 한 개 있음을 밝혀라. (15점)

7. 복소 변수 $z$ 의 방정식 $z^2+z+1 = i$ 가 있다. ($i=\sqrt{-1}$) (20점)
(1) 이 방정식을 만족하는 두 근 $z_1$, $z_2$ 를 구하라.
(2) $\vert z_1 \vert > \vert z_2 \vert$ 라고 할 때,$$\frac {w_1-z_1}{w_1-z_2} = i \, \, , \frac{w_2-z_1}{w_2-z_2}=-i$$ 인 $w_1$, $w_2$ 를 구하라.
(3) 복소평면 위에 있는 이들 네 점 $z_1$, $z_2$, $w_1$, $w_2$ 는 어떤 도형을 만드는가?