계엄령 윤석열의 서울대학교 입시

2024년 대학민국의 모든 국민에게 최고의 도파민을 선사해주며 연말 분위기를 제대로 만들어 주신 윤석열 대통령은 서울대학교 법과대학 법학과 79학번으로 졸업했다. 

윤석열의 서울대학교 졸업 사진

윤석열은 서울대학교 입시 때 어떠한 절차를 거쳤을까? 1979년에는 국가에서 출제하는 대학입학 예비고사(오늘날 수능) 성적, 대학에서 출제하는 대학별고사(본고사라고 하는 것이 더 익숙할 것이다)성적, 그리고 내신 성적을 모두 고려한 대학 입시가 이루어졌다. 특히 서울대학교와 같은 상위권 대학에서는 대학별고사(본고사)의 비중이 가장 높았고 난이도 또한 대학입학 예비고사(수능)보다 훨씬 높았다고 한다.

윤석열이 현역 때 응시했던 서울대학교 대학별고사의 수학 문제는 어떠했을까? 이번 글에서는 1979학년도 서울대학교 대학별고사 수학 I(윤석열이 응시했던 서울대학교 문과 수학 본고사)의 문제를 한 번 풀어보는 시간을 가져보자. 1번과 3번은 2024년에 풀기에는 너무나 쉬운 문제들이긴 하다. 2번은 꽤나 발상이 필요한 문제였어서 재미있게 풀었다. 4번은 카이스트 2021학년도 카이스트 면접 문제와 비슷했고, 5번은 2009학년도 서울대학교 면접 문제와 비슷해서 신기했다.

'79학년도 수학I (100점 / 60분)

1. 두 교점을 $\rm P$, $\rm Q$라 하고, 큰 원의 중심을 $\rm A$, 작은 원의 중심을 $\rm B$라 하자. $\angle\rm{PAB}=\pi / 3$, $\angle\rm PBA = \pi / 6$임을 쉽게 알 수 있다. 구하는 면적은,

부채꼴 $\rm APQ$의 넓이 $+$ 부채꼴 $\rm BPQ$의 넓이 $-$ 사각형 $\rm APBQ$의 넓이

이므로, 다음과 같다: $$ \begin{align} & \frac 1 2 \times 1^2 \times \frac{2\pi}3+\frac 1 2 \times (\sqrt3)^2 \times \frac{2\pi}6 - 2\left( \frac 1 2 \times 1 \times \sqrt3 \right) \\ &   = \dfrac \pi 3 + \dfrac \pi 2 - \sqrt3 \\ &  = \dfrac {5\pi} 6 -\sqrt3 \end{align} $$

2. $ \left(\frac a b -\sqrt2\right)  \left(\frac{a+2b}{a+b} -\sqrt2\right)$ 이 음수이면, $\sqrt 2$ 이 두 분수 사이의 수라는 것이 증명된 것이다. 이를 계산해보자. 뒤의 항을 정리하면 $$ \begin{align} \frac {a+2b}{a+b} - \sqrt2 & = \frac{(1-\sqrt2)a + (2-\sqrt 2)b}{a+b} \\ & = \frac{(\sqrt2 - 1)\sqrt2 b - (\sqrt 2 - 1)b}{a+b} \\ & = \frac{(\sqrt 2 - 1)b}{a+b}\left(\sqrt2 - \frac a b\right) \end{align} $$ 이므로, 위의 곱은  $$ - \frac{(\sqrt2 - 1)b}{a+b} \left( \frac a b -\sqrt 2 \right)^2$$ 이므로 음수임이 확인되었다.
이어서, $\frac{a+2b}{a+b}-\sqrt2 = \frac{(\sqrt2-1)b}{a+b}\left(\sqrt2 - \frac b a\right)$ 에서 앞에 곱해진 항 $\frac {(\sqrt 2 - 1)b}{a+b}$ 을 살펴보자. $0<\sqrt2-1<1$, $0<\frac{b}{a+b}<1$ 이므로, 이는 $1$ 보다 작은 양수이다. 즉, $$\left \vert \frac{a+2b}{a+b} -\sqrt 2 \right\vert = \left\vert \frac a b - \sqrt 2 \right\vert  \frac{(\sqrt 2 -1)b}{a+b}  <  \left\vert \frac a b - \sqrt 2\right\vert$$ 보다 작으므로, $\sqrt 2$ 는 $\frac {a+2b}{a+b}$ 에 더 가깝다.

3. (1) 제품의 무게를 확률변수 $X$ 라고 하자. $X$ 는 정규 분포 $\rm N(100, 2^2)$ 을 따르므로, $m=100$, $\sigma - 2$ 이다. 따라서, 하루에 불량품이 생기는 확률은 $$\begin{align} \rm{P}(X<98) & = \rm{P}(X< {\it m} - \sigma) \\ & = \frac 1 2 \left\{ 1-\rm{P}( {\it m} -\sigma < X < {\it m} + \sigma) \right\} \\ & = \frac 1 2 (1-0.683) \\ & = 0.1585 \end{align}$$(확률분포표가 주어졌을 것이다)이므로, 하루에 생기는 불량품의 개수의 평균은 $10000 \times 0.1585 $ 인 $15850$ 개 라고 할 수 있다.
(2) 표본의 크기가 $4$인 표본평균 $\bar X$ 는 정규 분포 $\rm N(100, (2/\sqrt4)^2)$ , 즉 $\rm N(100, 1^2)$ 을 따른다. 한 단위의 무게 $392 \rm g$의 한 개의 제품의 무게의 평균은 $392\rm g/4 = 98 \rm g$ 이므로, 하루에 불량품 단위가 생기는 확률은 $$ \begin{align} \rm{P}(\bar X < 98) & = \rm{P}(\bar X < 100-2\cdot 1) \\ & = \rm{P}(\bar X < {\it m} - 2\sigma') \\ & = \frac 1 2 \left\{ 1- \rm P ( {\it m} -2\sigma' < \bar X < {\it m} +2\sigma' ) \right\} \\ & = \frac 1 2 (1-0.954) \\ & = 0 .023 \end{align} $$(확률분포표가 주어졌을 것이다)이므로, 하루에 생기는 불량품 단위의 개수의 평균은 $100000 / 4 \times 0.023$ 인 $575$ 개 라고 할 수 있다.

4. 먼저, $a$ 을 구하자. 거리의 제곱의 합은,$$\begin{align} & \sum  (y_i-ax_i)^2 \\ & = a^2 \left( \sum  x_i^2 \right) - 2a \left(  \sum x_iy_i \right) +\sum y_i^2 \\ & = \left(\sum x_i^2\right)\left(a-\frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}\right)^2+\sum y_i^2-\frac{\left(\sum x_iy_i\right)^2}{\sum x_i^2} \end{align}$$ 이다. 어차피 $\sum$ 은 $i=1$ 부터 $n$ 이므로 첨자는 생략하였다. 이는 $a$ 에 대한 최고차항이 양수인 이차식이므로, $ a = \dfrac {\sum x_iy_i }{ \sum  x_i^2}$ 일 때 거리의 제곱의 합이 최소가 되고, 최솟값은 $\sum y_i^2 - \dfrac{\left( \sum x_iy_i \right)^2} {\sum x_i^2 } $ 이다.
이 때, 거리의 제곱의 합은 $0$ 이상이므로, $$ \sum y_i^2 - \dfrac{\left( \sum x_iy_i \right)^2} {\sum x_i^2 } \ge 0 $$이 성립해야 한다. 이와 문제의 조건인 $\sum y_i^2 \le \sum x_i^2$을 이용하여 정리하면, $$\begin{align} & \sum x_i^2 \ge \sum y_i^2 \ge \frac{\left( x_iy_i\right)^2} {\sum x_i^2} \\ & \left( \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2} \right)^2 \le 1 \end{align}$$이다. 즉, $a^2 \le 1$ 이므로 $a \le 1$ 이 성립한다.

5. 주어진 무한급수는 첫째 항이 $ax^2$ 이고 공비가 $\dfrac 1 {1+ax^2}$ 인 무한등비급수이다. $x=0$ 일 때는 모든 항이 $0$ 이므로 $a$ 의 값에 관계 없이 항상 $0$ 으로 수렴한다. $x\neq 0$ 일 때 수렴할 조건은 $\left| \dfrac 1 {1+ax^2} \right| <1$ 이다. 즉, $\left|1+ax^2\right|>1$ 이 $x\neq 0$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 성립하도록 하는 $a$ 의 범위를 찾자. $a > 0$ 일 때는 $1+ax^2>1$ 이므로 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식이 성립한다. $a < 0$ 일 때는 $1+ax^2=0$ 이도록 하는 $x = - 1/ \sqrt{-a}$ 가 존재하므로 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식이 성립하지 않는다. 따라서, $a>0$ 일 때, 무한급수가 수렴한다.
$f(x)$ 는 $x=0$ 일 때 $f(0)=0$, $x\neq 0$ 일 때 $$f(x) = \frac{ax^2}{1-\dfrac{1}{1+ax^2}} = 1+ax^2$$ 이다. 즉, $x=0$ 에서만 불연속인 이차함수이다. $f(x)$ 와 직선 $1+ax$ 는 $x=1$ 에서 교점을 가지므로, 이 둘로 둘러싸인 부분을 $x$ 축 둘레로 회전시켰을 때 생기는 입체의 부피를 계산하면 $$ \begin{align} & \pi\int_0^1(1+ax)^2 dx - \pi \int_0^1 \left(1+ax^2\right)^2 dx \\ & = \pi \int _0 ^1 \left\{ 2ax+(a^2-2a)x^2-a^2x^4 \right\} dx \\ & = \pi \left[ ax^2+\frac{a^2-2a}{3}x^3 - \frac{a^2}{5}x^5\right]_0^1 \\ & = \left(\frac 2{15}a^2+\frac 1 3 a\right)\pi \end{align} $$이다.이 값이 $1.2\pi $ 가 되게 하는 $a$ 는, $\frac 2 {15}a^2 + \frac 1 3 a = 1.2$ 의 해 중 양수이다. 이를 풀어보면 $2a^2+5a-18=0$, $(a-2)(2a+9)=0$, 따라서 $a=2$ 가 원하는 값이다.