포켓몬 카드 게임 이슬이가 붙이는 에너지

포켓몬을 좋아하는 나는 아이폰에 '포켓몬 카드 게임 Pocket'을 깔아보았다. 몇 팩 까지도 않았는데 뮤츠 EX 가 나와줘서 기분이 좋았다. 유치원 다닐 때 부터 포켓몬 배틀 보다는 카드 모으기를 좋아했던 나는 이번에도 카드 모으기만 하려고 했으나, 뮤츠 EX 을 사용해보고 싶어서 배틀을 해보게 된다. 배틀이 뭔지도 잘 모르던 나에게 첫 판 상대의 이슬이 프리져 콤보는 공포로 다가왔다. 뭔 효과인지도 모르고 속수무책으로 당해버린 후 너무 궁금해서 이슬이 카드를 찾아보게 된다.

자신의 물 타입 포켓몬을 1마리 선택한다. 뒷면이 나올 때까지 동전을 던져서 앞면이 나온 수만큼의 에너지를 자신의 에너지존에서 내보내 그 포켓몬에게 붙인다.

이 효과만 읽어보았을 때는 이슬이가 평균적으로 붙이는 에너지가 몇 개 되지 않아보였다. 그래서 그냥 첫 판은 운이 없었다고 생각하고 몇 판 더 했다. 그런데 이슬이 이 나쁜 친구는 등장할 때 마다 최소 에너지 다섯 개는 붙이고 가는 것 같았다. 

아마도 이 글에는 초등학교 친구들이 많이 유입될 것 같은데, 초등학교 친구들은 아래에 나올 $\sum$ , $\lim$ 기호를 보면 놀라 넘어질 지도 모른다. 그러니 결론부터 이야기 해주자면,

이슬이가 평균적으로 붙이는 에너지는 $\bf 1$ 개 이다. 

수학적으로 이슬이가 평균적으로 붙이는 에너지의 개수를 구해보자. 동전을 던져서 앞면과 뒷면이 나올 확률이 $1/2$ 로 같을 것이므로, 에너지를 $0$개 붙이는 확률은 $1/2$, 에너지를 $1$개 붙이는 확률은 $(1/2)^2$, $\cdots$, 즉 $0$ 이상의 정수 $i$ 에 대하여, 에너지를 $i$ 개 붙이는 확률은 $(1/2)^{i+1}$ 이다. 따라서 이슬이가 펑균적으로 붙이는 에너지의 개수, 즉 에너지 개수의 기댓값은 다음과 같은 무한급수로 나타낼 수 있다. $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=0}^n \frac{1}{2^{i+1}} \times i $$ 이를 telescoping 해주면 $$\dfrac{i}{2^{i+1}}=\dfrac{i+1}{2^{i}}-\dfrac{(i+1)+1}{2^{i+1}} $$ 이다. 따라서, 무한급수는 다음과 같이 계산된다. $$\begin{align} & \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^n \frac{i}{2^{i+1}}  \\ &  = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=0}^n \left( \dfrac{i+1}{2^{i}}-\dfrac{(i+1)+1}{2^{i+1}} \right) \\ & = \lim_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{0+1}{2^0} - \dfrac{n+1}{2^n}\right) \\ & =1 \end{align} $$ 즉, 이슬이는 평균적으로 한 개의 에너지를 붙인다고 할 수 있다.